定理定义

设[a, b]为有界闭区间,f(x)在上连续,则,存在多项式p(x) ,使得，有.[1]

魏尔斯特拉斯逼近定理有两个：

1.闭区间上的连续函数可用多项式级数一致逼近。

2.闭区间上周期为2π的连续函数可用三角函数级数一致逼近。

验证推导

普通推导法

第一逼近定理可以从第二逼近定理直接推出。

第二逼近定理的证明：由f(t)的一致连续性，可以证明，上式在时，满足一致收敛的条件，故我们可以用fr(t)来一致逼近f(t)。

第一定理证明

利用Korovkin定理，立即可得魏尔斯特拉斯第一逼近定理的一个证明。对Korovkin定理的运用亦可得到许多有趣的结果。

我们只要证明对于上的连续函数f,其伯恩斯坦多项式在上一致收敛于f,这里，对于n≥0，.

首先，显然是正线性算子，另一方面，对

（1）

求导并乘以x(1-x)可得. （2）

对上式求导后再乘以x(1- -x)可得. （3）

由（1）-（3）可得

于是，对k=0,1,2,函数列一致收敛于.

因此，由Korovkin定理得到魏尔斯特拉斯第一逼近定理。

第二定理证明

（注：以下证明过程中为简洁起见，省略某些句子中的“”，并记）

利用费耶积分证明魏尔斯特拉斯第二逼近定理。

对于以2π为周期的连续周期函数f(x)及其傅里叶级数

其部分和为

而对部分和做平均得到费耶积分

现设为f的连续模，任取，并注意到

我们有

从而

.

由δ的任意性即得一致收敛于f(x).[2]

定理推广

魏尔斯特拉斯第一和第二定理可以作为斯通——魏尔斯特拉斯定理的特例，后者是斯通对魏尔斯特拉斯逼近定理的推广。这一推广定理有不同的方法可证明。下面是这一推广定理中中的相应结果。

设X是中的非空紧集,C(X)表示X上的实连续函数全体，集合满足以下条件:

（i）A含有非零常值函数.

（ii）若，则，进一步，对任何实数， .

则C(X)中的元可以用A中的元一致逼近当且仅当A分离X中的点，即对于任何，，存在函数使得.[2]

发展简史

定理提出者魏尔斯特拉斯，K. W. T. (W eierstrass， KarlWilhelm Theodor)1815年10月31日生于德国威斯特伐利亚地区的奥斯登费尔特; 1897年2月19日卒于柏林。

在其早期论文中，已引进多复变量幂级数与复n维空间中的一-些拓扑概念，定义了多复变量幂级数的收敛多圆柱，他还通过系数估计得到由幂级数表示的函数。

1937年，斯通在将魏尔斯特拉斯逼近定理推广为一一个非常好用的结果，并于1948年简化了证明。而证明斯通一魏尔斯特拉斯定理则可有不同的方法。[2]

定理意义

魏尔斯特拉斯逼近定理是数学分析中非常重要的定理，有界闭区间上的连续函数可以用多项式一致逼近称为魏尔斯特拉斯第一逼近定理，而连续周期函数可以用相应的三角多项式一致逼近称为魏尔斯特拉斯第二逼近定理。关于魏尔斯特拉斯逼近定理的证明和推广对数学分析的学习有很好的启发性。[2]